monotone là gì

Eine monotone Abbildung ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen, bei der aus der Ordnung zweier Elemente der Definitionsmenge auf die Ordnung der jeweiligen Bildelemente der Zielmenge geschlossen werden kann. Bleibt die Ordnung der Elemente erhalten, spricht man von einer isotonen oder ordnungserhaltenden Abbildung oder auch von einem Ordnungshomomorphismus. Kehrt sich die Ordnung um, spricht man von einer antitonen oder ordnungsumkehrenden Abbildung.

Bekannte Beispiele monotoner Abbildungen sind (nicht notwendigerweise streng) monotone reelle Funktionen. Der Monotoniebegriff wird aber allgemeiner auch auf vektorwertige Funktionen, Operatoren, Zahlenfolgen, Mengenfolgen und Funktionenfolgen angewandt.

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Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und zwei halbgeordnete Mengen, dann heißt eine Abbildung isoton, ordnungserhaltend oder ein Ordnungshomomorphismus, wenn für alle Elemente

gilt, und antiton oder ordnungsumkehrend, wenn für alle

gilt. Eine Abbildung heißt monoton, wenn sie isoton oder antiton ist. Sind die entsprechenden strikten Ordnungen und definiert, so sánh heißt eine Abbildung strikt isoton, wenn für alle Elemente

gilt, und strikt antiton, wenn für alle

gilt. Eine Abbildung heißt strikt monoton, wenn sie strikt isoton oder strikt antiton ist.

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Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Monotone Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

.

Eine Abbildung von nach definiert durch ist genau dann monoton, wenn die Funktionenfolge eine monotone Funktionenfolge ist.

Monotone Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine isotone Abbildung stellt einen Ordnungs-Homomorphismus dar, eine antitone Abbildung hingegen einen Ordnungs-Antihomomorphismus. Eine bijektive isotone Abbildung, deren Inverse ebenfalls isoton ist, ist ein Ordnungs-Isomorphismus, eine bijektive antitone Abbildung mit antitoner Inverser ein Ordnungs-Antiisomorphismus.

Die Inverse einer bijektiven isotonen Abbildung muss nicht notwendigerweise selbst wieder isoton sein. Sind beispielsweise mit und mit sowie die (identische) Abbildung , dann ist zwar isoton, aber nicht, denn impliziert nicht . Gleiches gilt für die Antitonie der Inversen einer bijektiven antitonen Abbildung. Daher muss hier bei Iso- und Antiisomorphismen die Isotonie beziehungsweise die Antitonie der Inversen explizit gefordert werden.

Die Hintereinanderausführung zweier isotoner Abbildungen und ist wieder isoton. Nachdem auch die identische Abbildung isoton ist, stellt die Menge der isotonen Selbstabbildungen mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung ein Monoid (das Endomorphismenmonoid) dar. Allgemeiner bilden halbgeordnete Mengen zusammen mit isotonen Abbildungen eine (kartesisch abgeschlossene) Kategorie. Die bijektiven isotonen Selbstabbildungen mit isotonen Inversen bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung entsprechend eine Gruppe (die Automorphismengruppe). Die Hintereinanderausführung zweier antitoner Abbildungen ist jedoch nicht wieder antiton, sondern isoton. Die Hintereinanderausführung einer isotonen mit einer antitonen Abbildung ist unabhängig von der Reihenfolge stets antiton.

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Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen und , für die die Umkehrung

für alle gilt, heißt ordnungsreflektierend. Eine ordnungsreflektierende Abbildung ist stets injektiv. Eine sowohl ordnungserhaltende als auch ordnungsreflektierende Abbildung, für die also

für alle gilt, wird Ordnungseinbettung genannt. Eine surjektive Ordnungseinbettung ist ein Ordnungsisomorphismus und man schreibt dann . Für eine Ordnungseinbettung gilt lediglich .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Rudolf Berghammer: Ordnungen und Verbände. Grundlagen, Vorgehensweisen und Anwendungen. Springer Vieweg, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02710-0, doi:10.1007/978-3-658-02711-7.
• Steven Roman: Lattices and Ordered Sets. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-78900-2, doi:10.1007/978-0-387-78901-9.
• Bernhard Ganter: Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen, Springer, 2013, ISBN 978-3-642-37500-2